Qu’est-ce que les translations en mathématiques ?

Il existe différentes manières d’appréhender le fonctionnement de la nature. La biologie étudie le fonctionnement de la vie et la géologie focalise son attention dans l’étude des roches et des minéraux. La physique fait aussi partie de ces domaines du savoir qui analysent les lois naturelles sous-jacentes à la manifestation des phénomènes concrets. Cependant, toutes ces matières reposent sur une description quantitative des phénomènes. Et de là, elles se basent sur des théorèmes en maths dont les propositions et raisonnements géométriques occupent une place importante. Parmi ces théorèmes, ceux concernant la translation sont particulièrement intéressants. Aussi, une question se pose-t-elle : qu’est-ce qu’une translation en maths ? Comment ce concept peut-il subvenir à une intelligence plus pointue des phénomènes naturels ?

Définition et propriétés de la translation

L’idée de translation en maths se rattache au concept d’image d’un point dans un plan. Soient trois points O, M et P situés dans un plan. L’image de P par une translation de vecteur OM est le point Q tel que le quadrilatère OPQM soit un parallélogramme. De cette façon, il est possible de créer l’image d’une figure par translation, de sorte que les grandeurs suivantes soient conservées : la longueur, l’alignement des points, les angles et les aires. De ce fait, le théorème suivant est obtenu : la figure antécédente et l’image sont superposables par translation.

La translation est donc la transformation d’un point en un autre point. Le point de départ porte le nom d’« antécédent » et le point construit est appelé « image ». Avec la règle et le compas, il est aisé de construire l’image d’un point par translation. Le lien suivant montre clairement comment effectuer ce traçage : www.accromaths.fr.

Pourquoi est-il important d’apprendre la translation en géométrie ?

La géométrie est comme la science des nombres, c’est-à-dire l’arithmétique. Elle se déploie par une suite logique de propositions liées les unes des autres avec une forme précise du raisonnement. Ainsi, la connaissance d’un certain nombre de propositions de départ permet de déduire nécessairement de nouvelles propositions. Or, en géométrie, la question posée à l’élève consiste souvent :

  • à calculer la longueur d’un segment ou la valeur d’un angle ;
  • à démontrer la nature d’une figure géométrique.

Grâce à la notion de translation, il est possible de parvenir aux résultats suivants :

  • calculer la longueur d’un côté d’une figure, en l’occurrence les quadrilatères dérivés du parallélogramme : carré, rectangle et losange ;
  • démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, un carré, un rectangle ou un losange.

Comme tous les théorèmes en maths. Il serait une erreur de borner l’esprit à n’accepter que ces finalités pour la translation. Cela s’explique par le fait qu’en chaque problème de géométrie, il n’est jamais impossible de faire preuve d’ingéniosité en créant des méthodes nouvelles et en manipulant habilement les chiffres.

Des difficultés à comprendre ? Importance des didactiques

La plupart des élèves, en s’introduisant dans le domaine de la géométrie et des chiffres, rencontrent souvent une erreur de représentation des concepts. Cette erreur est le résultat d’un défaut de capacité d’abstraction. En effet, l’essentiel en géométrie n’est pas tant la figure que la définition. Cette définition lie un sujet à des prédicats de telles sortes que ces derniers caractérisent essentiellement le sujet. Par exemple, un carré est une figure à quatre côtés égaux. Ceci révèle l’existence d’une condition nécessaire et suffisante qui détermine ce qu’est un carré. Aussi, faut-il dire : une figure est un carré, si et seulement si elle a quatre côtés et que ces côtés sont tous de longueur égale.

Cette forme conditionnelle de la définition permet alors d’effectuer un raisonnement, en montrant que la figure est bien une figure à quatre côtés égaux. La difficulté des élèves repose sur le fait qu’ils s’attachent mieux à la figure qu’à la définition. Nonobstant leurs efforts, un bon nombre d’entre eux ne franchissent pas le pas vers la retenue des définitions. Le plus souvent, les enseignants se conforment à une didactique, afin d’aider méthodiquement les élèves à surmonter cet obstacle. Les parents aussi doivent en être capables. Compter sur l’efficacité de ces méthodes est un pas inévitable pour tous ceux qui souhaitent soutenir convenablement les élèves en difficulté.

Géométrie et applications

Les notions géométriques sont une synthèse de l’abstrait et du concret. Par exemple, le rectangle se révèle concrètement par une figure, mais ne se définit pas par la figure. Cependant, à l’origine, ces idées ont été créées par un processus d’abstraction des phénomènes réels. Ainsi, en observant un arbre droit, le dessin sur un plan exige le recours à des lignes toutes différentes les unes des autres. Les Grecs, par la personne d’Euclide, ont su organiser toutes les connaissances en géométrie en un exposé déductif qui est devenu ce qui est couramment appelé « géométrie euclidienne ». Il fallut compter sur la puissance de la raison en usant de figures et de chiffres pour retrouver des longueurs réelles.

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